The Four Horsemen

Ναι, κι όμως! Υπάρχουν σημαντικοί αριθμοί!

Ο αριθμός 2 είναι ο πρώτος πρώτος αριθμός. Μάλιστα είναι ο μοναδικός πρώτος αριθμός ο οποίος είναι άρτιος! Πόσο πιο γαμάτος αριθμός λοιπόν είναι ο αριθμός 4 ο οποίος γράφεται ως $2^2$; Γενικά θεωρώ ότι η ακολουθία $2^n ,\ n\in\mathbb{N}$ κρύβει κάτι το μεταφυσικό. Θεωρώ ότι βρίσκεται παντού. Αρκεί μόνο το γεγονός ότι ο πληθάριθμος του δυναμοσυνόλου ενός συνόλου Α δίνεται ως $2^{|A|}$. Περισσότερες λεπτομέρειες γι' αυτό θα αναφέρω όταν συνεχίσω το ταξίδι στο άπειρο και μιλήσουμε για πληθικούς αριθμούς. Σκοπός μου τώρα είναι να γράψω για τους 4 καβαλάρηδες της μαθηματικής ανάλυσης.

Οποιοσδήποτε έχει ασχοληθεί έστω κι ελάχιστα με μαθηματική ανάλυση, έχει έρθει σε επαφή με την έννοια του ορίου. Ακόμα κι απ' τα λυκειακά μας χρόνια (3$^\eta$ λυκείου). Εκεί (στην τρίτη λυκείου) χρησιμοποιούμε την έννοια του ορίου για να περιγράψουμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης. Κάπου εκεί χωμένος στο βιβλίο των μαθηματικών κατεύθυνσης είναι κι ο ορισμός της συγκλίνουσας ακολουθίας. Ναι, ο ένας. Ο καλός. Ο μοναδικός. Ο εψιλοντικός. Λέμε ότι μια ακολουθία $a_n$ συγκλίνει στον πραγματικό αριθμό x, αν 

$\forall\epsilon >0, \exists n_0 \in\mathbb{N} :|a_n -x|<\epsilon, \forall n\geq n_0$

Τρομακτικό; Όχι και τόσο. Αυτό που μας λέει ο παραπάνω τύπος (ο οποίος διαβάζεται "για κάθε έψιλον θετικό υπάρχει φυσικός αριθμός $n_0$ τέτοιος ώστε για κάθε φυσικό n μεγαλύτερο ή ίσο του $n_0$ η απόλυτη τιμή της $a_n$ απ' το x να είναι μικρότερη του έψιλον") είναι πρακτικά υπάρχει κάποιο σημείο της ακολουθίας, απ' το οποίο κι έπειτα, όλοι οι όροι της θα είναι όσο κοντά θέλουμε στο σημείο σύγκλισης, δηλαδή το x. 

Αυτή η έννοια του "όσο κοντά θέλουμε" προϋποθέτει την ύπαρξη κάποιου τρόπου για να μετράμε απόσταση. Ε αυτός ο τρόπος στην περίπτωσή μας είναι η απόλυτη τιμή. Ο x απέχει απ' τον y απόσταση ίση με |x-y|. Τέλεια. Όμως η απόλυτη τιμή είναι ο μοναδικός τρόπος για να μετράμε αποστάσεις μεταξύ σημείων σε έναν χώρο; Εδώ η απάντηση είναι απίστευτα ενδιαφέρουσα, γιατί είναι αρνητική. Μπορώ να μετρήσω με πολλούς τρόπους την απόσταση μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών. Ο τρόπος για να μετράμε γενικά απόσταση, είναι να χρησιμοποιήσουμε μια συνάρτηση η οποία λέγεται μετρική. Μια μετρική είναι μια συνάρτηση $d:X\times Χ\rightarrow [0,+\infty ]$ η οποία πληροί τις τρεις παρακάτω ιδιότητες:

1.$\forall x\in X,\ d(x,x)=0$, που πρακτικά σημαίνει ότι κάθε σημείο του χώρου πρέπει να απέχει απ' τον εαυτό του μηδενική απόσταση

2.$\forall x,y\in X,\ d(x,y)=d(y,x)$, που σημαίναι ότι για κάθε ζεύγος x,y σημείων του Χ το x απέχει απ' το y τόση απόσταση όση απέχει το y απ' το x (λογική παραδοχή θα πω εγώ)

3.$\forall x,y,z\in X,d(x,y)\leq d(x,z) +d(z,y)$ (τριγωνική ανισότητα), που σημαίνει ότι αν εκτός απ' το x και y υπάρχει κάποιο σημείο z του χώρου, τότε η απόσταση του x απ' το y είναι μικρότερη ή ίση απ' την απόσταση του x απ' το z συν την απόσταση του z απ' το y. Σκεφτείτε λοιπόν ότι έχουμε πάνω σε μια ευθεία δυο σημεία x και y και ανάμεσά τους παρεμβάλλουμε ένα σημείο z. Είναι προφανές τότε ότι θα έχουμε μια περίπτωση κατά την οποία ικανοποιείται η ισότητα στην τριγωνική ανισότητα.

Κάνοντας μια απλή επαλήθευση θα δούμε ότι η συνάρτηση $d:\mathbb{R} \times\mathbb{R}\rightarrow [0,+\infty ]$ όπου d(x,y)=|x-y| ικανοποιεί τις 3 συνθήκες που πρέπει να πληροί μια μετρική, άρα η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών ορίζει μια έννοια απόστασης στους πραγματικούς αριθμούς. Μπορεί επίσης να επαληθευτεί ότι οι συναρτήσεις $\sqrt{|x-y|} ,\ a\cdot |x-y| \forall a>0$ είναι επίσης μετρικές στην πραγματική ευθεία.

Όπως λοιπόν με την πραγματική ευθεία, έτσι μπορούμε να ορίσουμε μετρικές και σε άλλους χώρους. Στο πραγματικό επίπεδο $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ λέμε όι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων $(x_1 ,y_1)$ και $(x_2 ,y_2 )$ μπορεί να δοθεί ως $\sqrt{(x_1 - x_2 )^2 + (y_1 - y_2 )^2}$. Αυτή καλείται Ευκλείδεια μετρική του επιπέδου (όπως και η απόλυτη τιμή καλείται Ευκλείδεια μετρική στους πραγματικούς αριθμούς). Μπορούμε να πούμε ένα σωρό χώρους και σε αυτούς να ορίσουμε ένα σωρό μετρικές. Το ζεύγος $(X, d)$ καλείται μετρικός χώρος. Οι μετρικοί χώροι είναι ο Τρίτος Καβαλάρης, ο οποίος ιππέυει το μαύρο του άλογο. Είναι ο Καβαλάρης της πείνας, γιατί μας δημιουργεί την όρεξη να μάθουμε περισσότερα και να μπούμε σε μια διαδικασία περεταίρω αφαίρεσης.

Ας κάνουμε ένα βήμα πίσω κι ας κυνηγήσουμε τον Δεύτερο Καβαλάρη. Τον Κόκκινο. Αυτόν του Πολέμου. Με τις μετρικές μετράμε αποστάσεις. Μήκος όμως πώς μετράμε; Μετράμε με τις νόρμες. Οι νόρμες είναι αποστάσεις με τη βοήθεια των οποίων μετράμε μήκη. Σε ένα χώρο X μια νόρμα είναι μια συνάρτηση n$:X\rightarrow [0,+\infty ]$ η οποία πληροί τις παρακάτω τέσσερις προϋποθέσεις:

1.$\forall x\in X,\ n(x)\geq 0$, που πρακτικά σημαίνει ότι δεν μπορούμε να έχουμε αρνητικά μήκη.

2.$n(x)=0\Rightarrow x=0$, που σημαίνει ότι το μοναδικό στοιχείο του χώρου που έχει μηδενικό μήκος είναι το μηδενικό στοιχείο του χώρου

3.$\forall \lambda\in K,\forall x\in X,\ n(\lambda x) =|\lambda |\cdot n(x)$ (θετική ομοιογένεια)

4.$\forall x,y\in X,\ n(x+y)\leq n(x) +n(y)$ (τριγωνική ανισότητα)

Μπορούμε να δείξουμε πολύ εύκολα ότι η συνάρτηση $n:\mathbb{R}\rightarrow [0,+\infty ]$ με n(x)=|x| είναι νόρμα στους πραγματικούς αριθμούς. Μπορεί να πρατηρούμε μια κοινή συνιστώσα σε αυτό το παράδειγμα νόρμας με μιας προηγούμενης. Παραπάνω είπαμε ότι η |x-y| είναι μετρική στο $\mathbb{R}$ και μόλις είπαμε ότι η |x| είναι νόρμα στο $\mathbb{R}$. Άρα αν d(x,y)=|x-y| και n(x)=|x|, μπορούμε να γάψουμε d(x,y)=n(x-y)=|x-y|. Οπότε βλέπουμε ότι μέσα από μια νόρμα, μπορούμε να ορίσουμε μια μετρική. Το αντίστροφο ισχύει; Δηλαδή έχοντας μια μετρική μπορούμε να ορίσουμε μια νόρμα; Η απάντηση είναι αρνητική. Παρόλαυτά δοθείσης μια νόρμας n, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση d(x,y)=n(x-y) ορίζει μια μετρική στον Χ. Όταν μια μετρική μπορεί να δημιουργηθεί από μια νόρμα, τότε λέμε ότι η νόρμα επάγει τη μετρική (ή ότι η μετρική επάγεται από μια νόρμα). Έτσι στο πραγματικό επίπεδο $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ μπορούμε να ορίσουμε την Ευκλείδεια νόρμα $n((x_1 ,y_1 ))=\sqrt{x_1^2 +y_1^2}$ η οποία επάγει την Ευκλείδεια μετρική στο επίπεδο αφού $d((x_1 ,y_1 ),(x_2 ,y_2 )) = n((x_1 ,y_1 ) - (x_2 ,y_2 )) = n((x_1 -x_2 ,y_1 -y_2 )) = \sqrt{(x_1 -x_2 )^2 +(y_1 -y_2 )^2}$. Ο χώρος (Χ,n) καλείται χώρος με νόρμα.

Κάνοντας τώρα βουτιά στην άβυσσο, βλέπουμε τον Πρώτο Καβαλάρη. Τον Αντίχριστο. Ή τον Χριστό; Θα μάθουμε μόνο τότε που θα τον αντικρίσουμε κατάματα. 

Τι είναι αυτό που γεμίζει έναν χώρο με γεωμετρία; Οι γωνίες. Ένας χώρος στον οποίο μπορούμε να ορίσουμε μια έννοια γωνίας, είναι ένας χώρος στον οποίο έχει νόημα να λέμε ότι μπορούμε να κάνουμε γεωμετρία. Για να μπορούμε να ορίσουμε γωνίες, θα πρέπει να ορίσουμε μια συνάρτηση η οποία καλείται εσωτερικό γινόμενο. Μια συνάρτηση $p:X\times X\rightarrow \mathbb{F}$ καλείται εσωτερικό γινόμενο αν πληροί τις παρακάτω ιδιότητες:

1.$\forall x,y,z\in X,\ p(x+y,z)=p(x,z)+p(y,z)$

   $p(\lambda x)=\lambda p(x),\ \forall x\in X,\forall \lambda \in\mathbb{F}$ (είναι γραμμική)

3.$\forall x,y\in X,\ p(x,y)=\overline{p(x,y)}$, είναι ερμιτιανά συμμετρική

4.$p(x,x)\geq 0,\ \forall x\in X$ με $p(x,x)=0\Leftrightarrow x=0$ (θετικά ορισμένη)

Αν λοιπόν στο χώρο μας έχουμε ορίσει ένα εσωτερικό γινόμενο, μπορούμε πολύ εύκολα να ορίσουμε και μια νόρμα. Έτσι, όπως είχαμε μετρικές οι οποίες επάγονται από νόρμες, θα έχουμε και νόρμες οι οποίες επάγονται (προκύπτουν) από εσωτερικά γινόμενα. Πράγματι, για κάθε εσωτερικό γινόμενο $p:X\times X\rightarrow \mathbb{F}$, μπορούμε να ορίσουμε νόρμα $n:X\rightarrow [0,+\infty ]$ ως n(x)=$\sqrt{p(x,x)}$ το οποίο έχει νόημα λόγω της 4$^{\eta\sigma}$ ιδιότητας των εσωτερικών γινομένων. Αφήνεται ως άσκηση να δειχτεί ότι η n πληροί τις προϋποθέσεις των νορμών.  Ο χώρος (Χ,p) καλείται χώρος εσωτερικού γινομένου. Χρησιμοποιώντας τώρα το εσωτερικό γινόμενο, μπορούμε να ορίσουμε το συνημίτονο της γωνίας δύο στοιχείων του χώρου ως

$cos(x,y)=\frac{p(x,y)}{||x||\cdot ||y||}$, όπου ||$\cdot$|| η επαγώμενη απ' το εσωτερικό γινόμενο νόρμα.

Έτσι έχουμε εμπλουτίσει το χώρο μας και με γωνίες.

Δείξαμε λοιπόν ότι αν ξεκινήσουμε από έναν χώρο εσωτερικού γινομένου, μπορούμε να προχωρήσουμε και σε ένα χώρο με νόρμα και στη συνέχεια να θεωρήσουμε και τον αντίστοιχο μετρικό χώρο με τη βοήθεια της επαγώμενης απ' τη νόρμα μετρικής. Σκαλί σκαλί λοιπόν μπορούμε να ανεβαίνουμε προς τα πάνω. Δεν είναι υποχρεωτικό όμως ότι μπορούμε να κατέβουμε και προς τα κάτω. Δηλαδή δεν επάγεται κάθε νόρμα ντε και καλά από κάποιο εσωτερικό γινόμενο και κάθε μετρική δεν επάγεται ντε και καλά από κάποια νόρμα.

Οι μετρικοί χώροι είναι εξαιρετικά ενδιαφέροντες (και χρήσιμοι). Μια ιδιότητα που έχουν κάποιοι μετρικοί χώροι είναι αυτή της πληρότητας. Ένας μετρικός χώρος (X,d) καλείται πλήρης μετρικός χώρος αν κάθε βασική ακολουθία στο χώρο αυτό (στη βιβλιογραφία η βασική ακολουθία μπορεί να βρεθεί κι ως Cauchy ακολουθία) είναι και συγκλίνουσα. Μπορεί να δειχθεί εν γένει ότι αν μια ακολουθία συγκλίνει, τότε είναι και βασική. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει εν γένει. Ε όταν ισχύει, λέμε ότι ο μετρικός χώρος είναι πλήρης. Τι είναι όμως μια βασική ακολουθία; Ο παρακάτω ορισμός είναι αρκετα διαφωτιστικός. Μια ακολουθία ($a_n )_{n\in\mathbb{N}}$ καλείται βασική αν 

$\forall \epsilon >0, \exists n_0 \in\mathbb{N} : \ d(x_n ,x_m )<\epsilon ,\ \forall n,m\geq n_0$

Ας δείξουμε τώρα για πλάκα ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι και βασική.

Έστω $\epsilon >0$. Αφού $a_n \rightarrow x$ υπάρχει $n_1 \in\mathbb{N} :|a_n - x|<\frac{\epsilon}{2} ,\ \forall n\geq n_1$. Όμοια υπάρχει $n_2 \in\mathbb{N} :|a_m - x|<\frac{\epsilon}{2} ,\ \forall m\geq n_2$. Άρα για $n_0 =max(n_1 ,n_2)$ θα έχουμε ότι για κάθε $m,n \geq n_0$ θα ισχύει $|a_n -a_m | \leq |a_n -x| +|a_m -x| <\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$, οπότε δείξαμε το ζητούμενο.

Ένας χώρος με νόρμα ο οποίος είναι πλήρης ως προς τη μετρική η οποία επάγεται απ' τη νόρμα καλείται χώρος Banach. Οι χώροι Banach είναι κι αυτοί, όπως και οι απλοί πλήρεις χώροι πολλοί ενδιαφέροντες από πολλές απόψεις. 

Τέλος, ένας χώρος με εσωτερικό γινόμενο ο οποίος είναι πλήρης ως προς τη μετρική η οποία επάγεται απ' τη νόρμα η οποία επάγεται απ' το εσωτερικό γινόμενο καλείται χώρος Hilbert. Οι χώροι Hilbert είναι η βάση της πυραμίδας των γαμάτων χώρων. Όπως είναι προφανές κάθε χώρος Hilbert είναι χώρος Banach (το αντίστροφο δεν ισχύει) και κάθε χώρος Banach είναι πλήρης μετρικός χώρος (πάλι εδώ το αντίστροφο δεν ισχύει).

Οι Banach και Hilbert των οποίων το όνομα πήραν οι παραπάνω χώροι ήταν σπουδαίοι μαθηματικοί (ο Hilbert ίσως λίγο πιο σπουδαίος απ' τον Banach, παρότι είμαι πολύ φαν του Στέφανου). Μιλώντας λίγο παραπάνω για τον Banach (ή Bananach-αχά καλό ε;) τον οποίο όπως ανέφερα παραπάνω συμπαθώ λίγο περαιτέρω, μπορούμε να πούμε ότι ήταν ένας πολύ τυχερός άνθρωπος. Ήταν σχεδόν αυτοδίδακτος μαθηματικός που τελικά κατέληξε να γίνει θεμελιωτής της συναρτησιακής ανάλυσης. Μια μέρα λοιπόν που ο άσημος μέχρι τότε Banach άραζε σε ένα παγκάκι σε κάποιο πάρκο της Κρακοβίας μαζί με τον φίλο του τον Nikodym (επίσης μετέπειτα σπουδαίο μαθηματικό) και συζητούσαν για γκόμενες, μπάλα και το ολοκλήρωμα Lebesgue έτυχε να περνάει από εκεί κοντά ο Steinhaus. Ο Steinhaus ήταν ένας απ' τους πιο επιφανείς μαθηματικούς της εποχής. Όπως ανέφερε αργότερα ο Steinhaus, ενθουσιάστηκε απ' την τυχαία κουβέντα των δύο νεαρών οι οποίοι μιλούσαν σε ένα παγκάκι στη μέση του πουθενα για αρμονική ανάλυση και θέλησε να τους γνωρίσει. Αργότερα ο Steinhaus έγινε ο advisor του Banach στο διδακτορικό του. Έχει πει μάλιστα ότι ο Banach ήταν η σπουδαιότερή του ανακάλυψη. Η τριπλέτα Banach, Steinhaus και Nikodym ίδρυσαν την Πολωνική Εταιρία Μαθηματικών. Ακόμα πιο ενδιαφέρον ήταν ότι ο Banach συγκέντρωνε πολλούς μαθηματικούς σε έναν καφενέ, το Scotish Cafe, στο οποίο κύριο κομμάτι της κουβέντας τους ήταν η συναρτησιακή ανάλυση. Σκεφτείτε το λίγο. Πολλοί έξυπνοι άνθρωποι μαζεμένοι σε λίγα τετραγωνικά να πίνουν καφεδάρες, να μιλάνε ανοικτά και να θεμελιώνουν θεωρίες μαθηματικών. Απλά γαμάτο. Μεταξύ άλλων επιφανών μελών της παρέας του ήταν οι Stanislaw Ulam (ο οποίος πήρε μέρος και στο πρότζεκτ Μανχάταν κι εκεί επινόησε τις μεθόδους Monte Carlo), ο Kazimier Kuratowski (με μεγάλη συνεισφορά στη θεωρία γραφημάτων και τη μαθηματική λογική), ο Juliusz Schauder κα.

Έχουμε ξεχάσει κάτι; Μα ναι! Τον Θάνατο! Τον Τέταρτο Καβαλάρη. Ο Καβαλάρης με το χλωμό άλογο. Ίσως στην περίπτωση μας βέβαια ο Θάνατος να έρχεται ως λυτρωτής. Η μεγάλη εισαγωγή γίνεται γιατί σε αντίθεση με τους χώρους με νόρμα και τους χώρους με εσωτερικό γινόμενο για τους οποίους πηγαίναμε πάντα ένα βήμα πίσω, εδώ θα πάμε ένα βήμα μπροστά. Ένα σύνολο πλέον (κι όχι μια συνάρτηση) καλείται τοπολογία $\mathbb{T}$ στον χώρο Χ αν πληροί τις εξής ιδιότητες

1.Το κενό σύνολο $\emptyset$ και ο Χ ανήκουν στην $\mathbb{T}$, δηλαδή $\emptyset ,X\in\mathbb{T}$

2.Η ένωση στοιχείων της $\mathbb{T}$ ανήκει στην $\mathbb{T}$, δηλαδή αν $X_i \in\mathbb{T} ,\forall i\in \mathbb{I}$ τότε $\cup_{i \in \mathbb{I}}\in\mathbb{T}$

3.Η τομή πεπερασμένων στοιχείων του $\mathbb{T}$ ανήκει στην $\mathbb{T}$, δηλαδή $\forall X_1 ,\dots ,X_n \in\mathbb{T} ,\ \cap_{i=1,\dots ,n} X_i \in\mathbb{T}$

Τώρα πλέον μπορούμε να φτιάξουμε μια τοπολογία από μια μετρική, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή δεν προκύπτει κάθε τοπολογία από μια μετρική. Πως φτιάχνουμε μια τοπολογία από μια μετρική; Δεν θα το αναλύσουμε αυτή τη στιγμή γιατί δεν έχουμε πει τι είναι τα ανοικτά σύνολα σε ένα μετρικό χώρο (X,d). Πάντως το σύνολο των ανοικτών συνόλων ενός μετρικού χώρου (X,d) αποτελούν μια τοπολογία του Χ. Γι' αυτό το λόγο καλούμε τα στοιχεία μιας οποιαδήποτε τοπολογίας (ανεξάρτητα απ' το αν αυτή προέκυψε από κάποια μετρική) ανοικτά σύνολα.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Τι είπατe;

Είτε έχεις ασχοληθεί με τα μαθηματικά είτε όχι, σίγουρα στη δευτέρα λυκείου έχεις έρθει σε επαφή με τον αριθμό e. Συνήθως θυμόμαστε το e να πηγαίνει παρέα κάπου με κάποιο ln. Νταξ, λογικό. Αφού το lnx είναι ο λογάριθμος του x με βάση το e.

Αν θα θέλαμε να ορίσουμε το e, θα λέγαμε ότι είναι το όριο $lim_{n\to +\infty} (1+\frac{1}{n} )^n$. To e γενικότερα συναντάται σε διάφορες μορφές. Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι $e=\Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} =1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\dots$ όπου για κάθε φυσικό αριθμό k ισχύει ότι k!=$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (k-1)\cdot k$.

Αν θέλαμε θα μπορούσαμε να βρούμε πάρα πολλούς άλλους τρόπους για να περιγράψουμε το e.

Πατώντας πάνω στη τελευταία σειρά (τα άπειρα αθροίσματα στα μαθηματικά ονομάζονται σειρές), μπορύμε επίσης να δείξουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x, μπορούμε να γράψουμε ότι 

$e^x = \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$

 Γενικότερα, μπορούμε (τις περισσότερες φορές) να γράψουμε μια "καλή" συνάρτηση ως μια σειρά. Σε αυτό το σημείο θα πούμε δύο τέτοια αναπτύγματα που θα μας βοηθήσουν να αποδείξουμε "τον ομορφότερο τύπο των μαθηματικών".

Ας δεχτούμε χωρίς πολλά πολλά (πιστέψτε με, ισχύει) ότι μπορούμε να αποδείξουμε τα παρακάτω:

1.$sinx=\Sigma_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

2.$cosx=\Sigma_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Είμαστε κομπλέ; Μάλλον όχι, οπότε θα κάνω μια περαιτέρω εξήγηση. Ως sinx συμβολίζουμε το ημίτονο(x) και ως cosx το συνημίτονο(x). Οπότε τελικά, αυτό που ισχύει είναι ότι:

1.ημ(x) = $x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\dots$

2.συν(x) = $1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\dots$

Τώρα νομίζω ότι στανιάραμε. Πάμε λίγο πιο βαθιά.

Δεν θα μιλήσω για μιγαδικούς γιατί θα έπρεπε να γράφω για μέρες. Αλλά αν θέλουμε να δούμε τον "ομορφότερο τύπο στα μαθηματικά" πρέπει κάπου να πετάξουμε μέσα και μιγαδικούς. Για να μην τα πολυλογούμε, αυτό που θα δείξουμε είναι ότι ισχύει ο τύπος $e^{i\pi} = -1$. Για την ακρίβεια θα δείξουμε κάτι ΠΟΛΥ πιο γενικό. Θα δείξουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει ότι $e^{ix} =cosx +i sinx$. Προφανώς αν στην τελευταία βάλουμε όπου x το π, θα πάρουμε $e^{i\pi} = cos\pi +isin\pi =-1$ αφού συν(π)=-1 και ημ(π)=0.

Ωραία. Εδώ είναι που θα χρησιμοποιήσουμε τα αναπτύγματα των $e^x ,cosx$ και $sinx$ σε σειρές. Αυτό που θα κάνουμε για την ακρίβεια, είναι να αντικαταστήσουμε στην $e^x$ όπου x το ix. Τότε θα έχουμε:

$e^{ix} =\Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{(ix)^n}{n!} =\Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n x^n}{n!}$

Εδώ αθόρυβα θα υποθέσουμε ότι μπορούμε να γράψουμε άφοβα (που δεν μπορούμε άφοβα, αλλά εδώ με λίγη δουλειά μπορούμε να δείξουμε ότι μπορούμε) ότι 

$\Sigma_{n=0}^{+\infty} a_n =\Sigma_{n\ περιττός} a_n +\Sigma_{n\ άρτιος} a_n$ και ισοδύναμα μπορούμε να πούμε ότι 

$\Sigma_{n\ άρτιος} a_n =\Sigma_{n=0}^{+\infty} a_{2n}$ και $\Sigma_{n\ περιττός} a_n =\Sigma_{n=0}^{+\infty} a_{2n+1}$. 

Αντικαθιστώντας τες αυτές πάνω στην τελευταία, παίρνουμε:

$e^{ix} = \Sigma_{n\ άρτιος} \frac{i^n x^n}{n!} + \Sigma_{n\ περιττός} \frac{i^n x^n}{n!} = \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{i^{2n} x^{2n}}{(2n)!} + \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{i^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}=$

$\Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{i(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} +i\cdot \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} =$

$cosx + i\cdot sinx$

αφού 

$i^k = \left\{\begin{matrix}
1, αν\ k=4\cdot t\\
i, αν\ k=4\cdot t+1\\
-1, αν\ k=4\cdot t+2\\
-i, αν\ k=4\cdot t+3  
\end{matrix}\right.$

για κάποιο $t\in\mathbb{Z}$.

$\square$

Στο άπειρο κι ακόμα παραπέρα...

 Ο Buzz Lightyear στο Toy Story είχε ως catchphrase το "ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΙ ΑΚΟΜΑ ΠΑΡΑΠΕΡΑ". 

Αυτή η φράση εντυπώνεται σε κάθε παιδικό μυαλό βλέποντας τις γαμάτες αυτές ταινίες της Pixar (η αλήθεια είναι ότι στην 3$^\eta$ έβαλα τα κλάματα στο σινεμά). 

Τι θέλει να πει όμως ο ποιητής; Ξέρει ο Buzz τι είναι το άπειρο; Κι αλήθεια, ξέρουμε εμείς (αν δεν ξέρει ο Buzz) τι είναι;

Δεν πιστεύω ότι τέτοια ερωτήματα βασανίζουν ένα παιδικό μυαλό που βλέπει το Toy Story. Αυτό ίσως να οφείλεται στο γεγονός ότι γενικά δεν μας πολυενδιαφέρει τι ακριβώς σημαίνει κάθε λέξη. Αυτό γίνεται στην καθημερινότητα. "Είσαι και γαμώ τα τυπάκια" λέμε (όποιος το λέει τέλος πάντων). Πως όμως ορίζουμε ότι κάποιος είναι "και γαμώ τα τυπάκια"; Υπάρχει κάποια σαφής διάκριση μεταξύ αυτού και κάποιου που δεν είναι; Η ελληνική γλώσσα (και κάθε γλώσσα για να είμαστε ειλικρινείς) μπορεί να λέμε ότι είναι πολύ ακριβής, αλλά οι λέξεις με διπλό ή και πολλαπλό νόημα κάπως μας τα χαλάνε. Στα μαθηματικά όμως όλες αυτές οι σκοτούρες μας κουνάνε μαντήλι. Κι εξηγούμαι...

Ας ξεκινήσουμε με κάποιους (απλούς;) ορισμούς. Ας πούμε πως από εδώ και πέρα όταν χρησιμοποιούμε τη λέξη συνάρτηση θα εννοούμε μια διαδικασία η οποία παίρνει ένα μήλο/αχλάδι/οντότητα από κάποιο σύνολο και το απεικονίζει σε κάποιο άλλο μανταρίνι/πορτοκάλι/οντότητα. Αν θα θέλαμε να είμαστε τυπικοί θα έπρεπε να μιλήσουμε για αυτό που στα μαθηματικά ονομάζουμε σχέσεις, αλλά είμαστε αλάνια και στο γήπεδο πάμε για να φάμε βρώμικο, να πιούμε μπύρες και να βρίσουμε τον τρίτο που δεν κράτησε 1.25 λεπτά παραπάνω, οπότε θα πορευθούμε όπως γουστάρουμε. Δηλαδή άτεχνα κι άκομψα, κρατώντας όμως τα προσχήματα. Έστω ότι έχουμε λοιπόν δύο σύνολα, το Α={1,4,69} και το Β={13, 16, 24}. Τότε μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση f:A$\rightarrow$B, όπου f(1)=16, f(4)=24 και f(69)=13. Αυτή είναι μια καλώς ορισμένη συνάρτηση. Καλά ως εδώ; Πιστεύω πως ναι. Ωραία. Τώρα συμβολίζουμε με [n] το σύνολο {1,2,...,n}. Για παράδειγμα [5]={1,2,3,4,5}. Τέλεια.

Προχωρώντας σε κάτι πιο πιασάρικο τώρα, θα λέμε ότι μια συνάρτηση f:A$\rightarrow$B είναι 1-1 (ένα προς ένα) αν (θα παιχτεί υπέροχος μαθηματικός φορμαλισμός εδώ, αλλά θα ξηγηθώ αμέσως μετά)

 $\forall\ x,y\in A:x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)$    

  Το παραπάνω πρακτικά σημαίνει ότι για οποιαδήποτε ανά δύο διαφορετικά στοιχεία του Α, τότε η f μου τα απεικονίζει σε διαφορετικά στοιχεία του Β. Για παράδειγμα η συνάρτηση f που ορίσαμε παραπάνω είναι 1-1. Αν παίρναμε όμως ότι f(1)=16, f(4)=24 και f(69)=16 τότε δεν θα ήταν γιατί θα είχαμε δύο διαφορετικά στοιχεία του Α, το 1 και το 69, τα οποία θα απεικονίζονταν μέσω της f στον ίδιο αριθμό, το 16.

Τώρα θα ορίσουμε τις επί συναρτήσεις που είναι πιο απλές. Μια συνάρτυση f:A$\rightarrow$B λέγεται επί αν

$\forall y\in B, \exists x\in A:f(x)=y$

Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι απλά η συνάρτυσή μας θα "γεμίζει όλο το Β. Πχ η f:{1,2,3}$\rightarrow${1}, όπου f(1)=1, f(2)=1 και f(3)=1 είναι επί γιατί τα στοιχεία του πεδίου ορισμού καλύπτουν μέσω της συνάρτησης f όλο το σύνολο Β.

Οι έννοιες του 1-1 κι επί είναι ό,τι πραγματικά χρειαζόμαστε για να συνεχίσουμε.

Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι f:A$\rightarrow$B είναι ισομορφισμός απ' το σύνολο Α στο σύνολο Β αν απλά είναι 1-1 κι επί ταυτόχρονα.

Τώρα θα κάνουμε το πρώτο μεγάλο μας βήμα προς το άπειρο, ορίζοντας το αντώνυμό του. 

Λέμε ότι ένα σύνολο A είναι πεπερασμένο αν υπάρχει φυσικός αριθμός n, τέτοιος ώστε να υπάρχει ισομορφισμός f:A$\rightarrow$[n]. Όπως είπαμε και πριν το [n] συμβολίζει το σύνολο {1,2,3,...,n}. Έτσι το σύνολο {22,33,44,55} είναι πεπεραρμένο αφού υπάρχει φυσικός αριθμός (το 4) τέτοιος ώστε να μπορούμε να βρούμε έναν ισιμορφισμό f:{22,33,44,55}$\rightarrow$[4]. Ποιός είναι αυτός; Νομίζω ότι η απάντηση είναι πολύ απλή. Προφανώς η f για την οποία ισχύει ότι f(22)=1, f(33)=2, f(44)=3 και f(55)=4 μας κάνει. Στην πραγματικότητα μας κάνουν κι άλλες συναρτήσεις όπως αυτή για την οποία ισχύει f(22)=4, f(33)=3, f(44)=3 και f(55)=4. Αφήνεται ως απλή νοητική άσκηση η εύρεση των υπόλοιπων συναρτήσεων που ικανοποιούν τα παραπάνω, δεν είναι κι άπειρες (αχά καλό ε;)

Ωραία. Τώρα θα ονομάζουμε άπειρο όποιο σύνολο δεν είναι πεπερασμένο. Τόσο απλά.

Ποιό είναι το πιο απλό άπειρο σύνολο μας έρχεται στο μυαλό; Εμένα είναι το {1,11,111,1111,11111,111111,1111111,11111111,111111111,1111111111,....}, αλλά ας υποθέσουμε πως το πιο απλό άπειρο σύνολο που μας έρχεται στο μυαλό είναι αυτό των φυσικών αριθμών $\mathbb{N}$={1,2,3,4,5,...}. Υπάρχει ένας πολύ απλός (και λόγω απλότητας γαμάτος) τρόπος να ορίσουμε τους φυσικούς αριθμούς. Τον σκέφτηκε (μάλλον όχι πρώτος, αλλά αυτός τον έγραψε σαφώς στο χαρτί) ένας ιταλός που τον έλεγαν Peano. Τυπικά ο Peano σκέφτηκε να ορίσει ένα ελάχιστο στοιχείο για τους φυσικούς αριθμούς και το ονόμασε 0 (μηδέν) και είπε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, τότε κι ο n+1 θα είναι φυσικός. Όρισε λοιπόν τους φυσικούς αριθμούς επαγωγικά. Αυτή την ιδιότητα των φυσικών αριθμών θα χρησιμοποιήσουμε για να αποδείξουμε ότι οι φυσικοί αριθμοί δεν είναι πεπερασμένο σύνολο, άρα είναι άπειρο σύνολο.

Έστω λοιπόν, προς άτοπο, ότι το $\mathbb{N}$ είναι πεπρασμένο σύνολο. Τότε υπάρχει φυσικός αριθμός n και ισομορφισμός f:$\mathbb{N}\rightarrow [n]$. Τότε η f πρέπει να είναι 1-1 κι επί. Λόγω του επί θα έχουμε ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί απεικονίζονται στο σύνολο {1,2,3,...,n}. Μπορούμε να υποθέσουμε (λόγω του πεπερασμένου του $\mathbb{N}$ όπως έχουμε υποθέσει και του 1-1 της f), ότι η f θα έχει την εξής μορφή f(1)=1, f(2)=2, ..., f(n)=n. Ωραία; Ωραία. Ή μήπως όχι; Ο Peano μας λέει ότι αν $n\in\mathbb{N}$ τότε και ο $n+1\in\mathbb{N}$. Αλλά τότε θα έπρεπε να ισχύει ότι f(n+1)=i για κάποιο $i\in [n]={1,2,3,...,n}$ το οποίο θα μας χαλούσε το 1-1 της συνάρτησης f αφού θα είχαμε ότι f(n+1)=i αλλά ταυτόχρονα και f(i)=i. Άτοπο, άρα το σύνολο $\mathbb{N}$ δεν είναι πεπερασμένο. Άρα είναι ΆΠΕΙΡΟ. ΟΡΊΣΤΕ. ΕΧΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΆΠΕΙΡΟ.

Κάτι που παρέλειψα παραπάνω να αναφέρω, αλλά έτσι κι αλλιώς δεν το χρειαστήκαμε ακόμα, είναι η έννοια της ισοπληθικότητας. Η ισοπληθικότητα είναι ένας πιο καλοντυμένος τρόπος για να μιλάμε για ισομορφισμούς μεταξύ δύο συνόλων. Λέμε ότι δύο σύνολα Α και Β είναι ισοπληθικά, γράφοντας $A=_c B$ αν υπάρχει ισομορφισμός f:$A\rightarrow$B. Ok, πάμε παρακάτω.

Προφανώς, όπως είναι ευκόλως κατανοητό ένα πεπερασμένο σύνολο δεν μπορεί να είναι ισοπληθικό με ένα άπειρο. Μπορεί όμως δύο άπειρα σύνολα να είναι ισοπληθικά. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών $\mathbb{Z}$ είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους. Δηλαδή $\mathbb{Z}$={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Τώρα ορίζουμε τη συνάρτηση f:$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$ όπου f(0)=0, f(1)=1,f(2)=-1,f(3)=2,f(4)=2,f(5)=-2,... .Αυτή η συνάρτηση μπορούμε (με λίγη παραπάνω δουλειά) να δείξουμε ότι είναι ισομορφισμός. Προφανώς υπάρχουν κι άλλοι ισομορφισμοί τους οποίους μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, αλλά αυτός φαίνεται αρκετά φυσικός. "Σχηματικά" η συνάρτηση αυτή "φαίνεται" παρακάτω:

Οπότενες μπορούμε να πούμε με ασφάλεια ότι $\mathbb{N} =_c \mathbb{Z}$.

Είναι αρκετά αδόκιμο, αλλά θα μπορούσαμε να σκεφτόμαστε τα ισοπληθικά σύνολα, ως σύνολα που έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων (Ω Θεοί των Μαθηματικών! Συγχωρέστε με για την ασέβεια!). Άρα κατά μία έννοια το $\mathbb{N}$ είναι "τόσο άπειρο όσο είναι" και το $\mathbb{Z}$.

Οκ, μετά απ' αυτό πάμε παρακάτω. Τώρα κάτι λίγο πιο σύνθετο. Θυμάστε τους ρητούς αριθμούς $\mathbb{Q}$; Οι ρητοί αριθμοί, λέγαμε στο σχολείο, ότι είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσμα. Νταξ, τα πράγματα δεν είναι (και τόσο) απλά. Οι ρητοί αριθμοί ορίζονται ως

$\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b}: b\neq 0,b\in\mathbb{N}, a\in\mathbb{Z}$ και μκδ(a,b)=1}

Τυπικά δηλαδή είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως ανάγωγο κλάσμα με ακέραιους αριθμητή και παρονομαστή (αν παίρναμε b$\in\mathbb{Z}$\{0} θα ήταν το ίδιο). Πόσοι λοιπόν είναι οι ρητοί; Θα δείξουμε δια της πλαγία οδού ότι $\mathbb{N} =_c \mathbb{Q}$. 

Αρχικά να πούμε λίγα ακόμη πράγματα για την πληθικότητα. Ισχύει ότι αν $A=_c B$ και $B=_c D$ τότε θα έχουμε επίσης ότι $A=_c D$. Αυτό είναι πολύ απλό να το δείξουμε χρησιμοποιώντας τον ορισμό της πληθικότητας και το γεγονός ότι η σύνθεση ισομορφισμών είναι ισομορφισμός. Αφήνεται ως άσκηση. Ωραία. Γράφουμε επίσης $A\leq _c B$ αν υπάρχει συνάρτηση f:A$\rightarrow$B η οποία να είναι 1-1. Δεν μας νοιάζει δηλαδή το Α να "γεμίζει" κατά επί τρόπο το Β, απλά να "μπαίνει" ολόκληρο μέσα του. Ισχύει λοιπόν επίσης ότι αν $A\leq  _c B$ και $B\leq _c D$ τότε θα έχουμε κι ότι $A\leq _c D$. Αυτό αποδεικνύεται πάλι χρησιμοποιώντας προσεκτικά όλους τους ορισμούς κι αφήνεται ως άσκηση. Επίσης αν $A\leq  _c B$ και $B\leq _c D$ και $A=_c D$ τότε θα έχουμε κι ότι $A=_c B$ και προφανώς θα ισχύει επίσης ότι $B=_c D$. Το Β θα μοίαζει λοιπόν σαν το ζαμπόν που το κλείνουν δυο ψωμιά στο σάντουιτς.

Ας επιστρέψουμε τώρα στο $\mathbb{Q}$. Απ' τον ορισμό του φαίνεται ότι μοιάζει με το σύνολο {(a,b): $b\neq 0,b\in\mathbb{N}, a\in\mathbb{Z}$ και μκδ(a,b)=1} το οποίο είναι το καρτεσιανό γινόμενο $\mathbb{N} \times \mathbb{Z}^* \approx_c \mathbb{N}\times\mathbb{Z}$, αλλά είδαμε ότι $\mathbb{N} =_c \mathbb{Z}$, άρα μπορούμε να πούμε ότι το $\mathbb{Q} =_c \mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Άρα αν δείξουμε ότι $\mathbb{N} =_c \mathbb{N}\times\mathbb{N}$ τότε σύμφωνα με τα παραπάνω (αφού προφανώς $\mathbb{N} \leq _c \mathbb{Q}$) θα ισχύει ότι $\mathbb{N} =_c \mathbb{Q}$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f:$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ όπου f(1)=(1,1),f(2)=(2,1),f(3)=(1,2),f(4)=(3,1),f(5)=(2,2),f(6)=(1,3),...  η οποία ακολουθεί το παρακάτω σχήμα ως ορισμό της

τότε θα καταφέρουμε να καλύψουμε όλο το $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ απ' το $\mathbb{N}$ κατά 1-1 κι επί τρόπο.

Άρα τελικά $\mathbb{N} =_c \mathbb{Z} =_c \mathbb{Q}$. Έχουμε κάτι άλλο; Μήπως τελειώσαμε; Υπάρχει περίπτωση ποτέ να τελειώσουμε; Προφανώς όχι. Αν τα πράγματα ήταν τόσο απλά, ο Cantor (ο πατέρας της θεωρίας συνόλων) δεν θα έτρεχε στα ψυχιατρεία. Κάπου εδώ στο $\mathbb{Q}$ τα εύκολα τελειώνουν. Από εδώ και πέρα το άπειρο παύει να είναι μια απλή υπόθεση. Δεν ξέρω σε ποιο άπειρο αναφερόταν ο Buzz, πάντως για να φτάσει παραπέρα, θέλει κι άλλη δουλειά. Μελλοντικά θα κάνουμε ένα βήμα παραπάνω ανεβαίνοντας ένα σκαλί στη σκάλα του ξενοδοχείου του Hilbert, εξετάζοντας τους πραγματικούς αριθμούς και το λόγο που οδήγησε τον Cantor στην παράνοια.