Τι είπατe;

Είτε έχεις ασχοληθεί με τα μαθηματικά είτε όχι, σίγουρα στη δευτέρα λυκείου έχεις έρθει σε επαφή με τον αριθμό e. Συνήθως θυμόμαστε το e να πηγαίνει παρέα κάπου με κάποιο ln. Νταξ, λογικό. Αφού το lnx είναι ο λογάριθμος του x με βάση το e.

Αν θα θέλαμε να ορίσουμε το e, θα λέγαμε ότι είναι το όριο $lim_{n\to +\infty} (1+\frac{1}{n} )^n$. To e γενικότερα συναντάται σε διάφορες μορφές. Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι $e=\Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} =1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\dots$ όπου για κάθε φυσικό αριθμό k ισχύει ότι k!=$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (k-1)\cdot k$.

Αν θέλαμε θα μπορούσαμε να βρούμε πάρα πολλούς άλλους τρόπους για να περιγράψουμε το e.

Πατώντας πάνω στη τελευταία σειρά (τα άπειρα αθροίσματα στα μαθηματικά ονομάζονται σειρές), μπορύμε επίσης να δείξουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x, μπορούμε να γράψουμε ότι 

$e^x = \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$

 Γενικότερα, μπορούμε (τις περισσότερες φορές) να γράψουμε μια "καλή" συνάρτηση ως μια σειρά. Σε αυτό το σημείο θα πούμε δύο τέτοια αναπτύγματα που θα μας βοηθήσουν να αποδείξουμε "τον ομορφότερο τύπο των μαθηματικών".

Ας δεχτούμε χωρίς πολλά πολλά (πιστέψτε με, ισχύει) ότι μπορούμε να αποδείξουμε τα παρακάτω:

1.$sinx=\Sigma_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

2.$cosx=\Sigma_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Είμαστε κομπλέ; Μάλλον όχι, οπότε θα κάνω μια περαιτέρω εξήγηση. Ως sinx συμβολίζουμε το ημίτονο(x) και ως cosx το συνημίτονο(x). Οπότε τελικά, αυτό που ισχύει είναι ότι:

1.ημ(x) = $x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\dots$

2.συν(x) = $1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\dots$

Τώρα νομίζω ότι στανιάραμε. Πάμε λίγο πιο βαθιά.

Δεν θα μιλήσω για μιγαδικούς γιατί θα έπρεπε να γράφω για μέρες. Αλλά αν θέλουμε να δούμε τον "ομορφότερο τύπο στα μαθηματικά" πρέπει κάπου να πετάξουμε μέσα και μιγαδικούς. Για να μην τα πολυλογούμε, αυτό που θα δείξουμε είναι ότι ισχύει ο τύπος $e^{i\pi} = -1$. Για την ακρίβεια θα δείξουμε κάτι ΠΟΛΥ πιο γενικό. Θα δείξουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει ότι $e^{ix} =cosx +i sinx$. Προφανώς αν στην τελευταία βάλουμε όπου x το π, θα πάρουμε $e^{i\pi} = cos\pi +isin\pi =-1$ αφού συν(π)=-1 και ημ(π)=0.

Ωραία. Εδώ είναι που θα χρησιμοποιήσουμε τα αναπτύγματα των $e^x ,cosx$ και $sinx$ σε σειρές. Αυτό που θα κάνουμε για την ακρίβεια, είναι να αντικαταστήσουμε στην $e^x$ όπου x το ix. Τότε θα έχουμε:

$e^{ix} =\Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{(ix)^n}{n!} =\Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n x^n}{n!}$

Εδώ αθόρυβα θα υποθέσουμε ότι μπορούμε να γράψουμε άφοβα (που δεν μπορούμε άφοβα, αλλά εδώ με λίγη δουλειά μπορούμε να δείξουμε ότι μπορούμε) ότι 

$\Sigma_{n=0}^{+\infty} a_n =\Sigma_{n\ περιττός} a_n +\Sigma_{n\ άρτιος} a_n$ και ισοδύναμα μπορούμε να πούμε ότι 

$\Sigma_{n\ άρτιος} a_n =\Sigma_{n=0}^{+\infty} a_{2n}$ και $\Sigma_{n\ περιττός} a_n =\Sigma_{n=0}^{+\infty} a_{2n+1}$. 

Αντικαθιστώντας τες αυτές πάνω στην τελευταία, παίρνουμε:

$e^{ix} = \Sigma_{n\ άρτιος} \frac{i^n x^n}{n!} + \Sigma_{n\ περιττός} \frac{i^n x^n}{n!} = \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{i^{2n} x^{2n}}{(2n)!} + \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{i^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}=$

$\Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{i(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} +i\cdot \Sigma_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} =$

$cosx + i\cdot sinx$

αφού 

$i^k = \left\{\begin{matrix}
1, αν\ k=4\cdot t\\
i, αν\ k=4\cdot t+1\\
-1, αν\ k=4\cdot t+2\\
-i, αν\ k=4\cdot t+3  
\end{matrix}\right.$

για κάποιο $t\in\mathbb{Z}$.

$\square$