Ο Buzz Lightyear στο Toy Story είχε ως catchphrase το "ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΙ ΑΚΟΜΑ ΠΑΡΑΠΕΡΑ".
Αυτή η φράση εντυπώνεται σε κάθε παιδικό μυαλό βλέποντας τις γαμάτες αυτές ταινίες της Pixar (η αλήθεια είναι ότι στην 3$^\eta$ έβαλα τα κλάματα στο σινεμά).
Τι θέλει να πει όμως ο ποιητής; Ξέρει ο Buzz τι είναι το άπειρο; Κι αλήθεια, ξέρουμε εμείς (αν δεν ξέρει ο Buzz) τι είναι;
Δεν πιστεύω ότι τέτοια ερωτήματα βασανίζουν ένα παιδικό μυαλό που βλέπει το Toy Story. Αυτό ίσως να οφείλεται στο γεγονός ότι γενικά δεν μας πολυενδιαφέρει τι ακριβώς σημαίνει κάθε λέξη. Αυτό γίνεται στην καθημερινότητα. "Είσαι και γαμώ τα τυπάκια" λέμε (όποιος το λέει τέλος πάντων). Πως όμως ορίζουμε ότι κάποιος είναι "και γαμώ τα τυπάκια"; Υπάρχει κάποια σαφής διάκριση μεταξύ αυτού και κάποιου που δεν είναι; Η ελληνική γλώσσα (και κάθε γλώσσα για να είμαστε ειλικρινείς) μπορεί να λέμε ότι είναι πολύ ακριβής, αλλά οι λέξεις με διπλό ή και πολλαπλό νόημα κάπως μας τα χαλάνε. Στα μαθηματικά όμως όλες αυτές οι σκοτούρες μας κουνάνε μαντήλι. Κι εξηγούμαι...
Ας ξεκινήσουμε με κάποιους (απλούς;) ορισμούς. Ας πούμε πως από εδώ και πέρα όταν χρησιμοποιούμε τη λέξη συνάρτηση θα εννοούμε μια διαδικασία η οποία παίρνει ένα μήλο/αχλάδι/οντότητα από κάποιο σύνολο και το απεικονίζει σε κάποιο άλλο μανταρίνι/πορτοκάλι/οντότητα. Αν θα θέλαμε να είμαστε τυπικοί θα έπρεπε να μιλήσουμε για αυτό που στα μαθηματικά ονομάζουμε σχέσεις, αλλά είμαστε αλάνια και στο γήπεδο πάμε για να φάμε βρώμικο, να πιούμε μπύρες και να βρίσουμε τον τρίτο που δεν κράτησε 1.25 λεπτά παραπάνω, οπότε θα πορευθούμε όπως γουστάρουμε. Δηλαδή άτεχνα κι άκομψα, κρατώντας όμως τα προσχήματα. Έστω ότι έχουμε λοιπόν δύο σύνολα, το Α={1,4,69} και το Β={13, 16, 24}. Τότε μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση f:A$\rightarrow$B, όπου f(1)=16, f(4)=24 και f(69)=13. Αυτή είναι μια καλώς ορισμένη συνάρτηση. Καλά ως εδώ; Πιστεύω πως ναι. Ωραία. Τώρα συμβολίζουμε με [n] το σύνολο {1,2,...,n}. Για παράδειγμα [5]={1,2,3,4,5}. Τέλεια.
Προχωρώντας σε κάτι πιο πιασάρικο τώρα, θα λέμε ότι μια συνάρτηση f:A$\rightarrow$B είναι 1-1 (ένα προς ένα) αν (θα παιχτεί υπέροχος μαθηματικός φορμαλισμός εδώ, αλλά θα ξηγηθώ αμέσως μετά)
$\forall\ x,y\in A:x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)$
Το παραπάνω πρακτικά σημαίνει ότι για οποιαδήποτε ανά δύο διαφορετικά στοιχεία του Α, τότε η f μου τα απεικονίζει σε διαφορετικά στοιχεία του Β. Για παράδειγμα η συνάρτηση f που ορίσαμε παραπάνω είναι 1-1. Αν παίρναμε όμως ότι f(1)=16, f(4)=24 και f(69)=16 τότε δεν θα ήταν γιατί θα είχαμε δύο διαφορετικά στοιχεία του Α, το 1 και το 69, τα οποία θα απεικονίζονταν μέσω της f στον ίδιο αριθμό, το 16.
Τώρα θα ορίσουμε τις επί συναρτήσεις που είναι πιο απλές. Μια συνάρτυση f:A$\rightarrow$B λέγεται επί αν
$\forall y\in B, \exists x\in A:f(x)=y$
Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι απλά η συνάρτυσή μας θα "γεμίζει όλο το Β. Πχ η f:{1,2,3}$\rightarrow${1}, όπου f(1)=1, f(2)=1 και f(3)=1 είναι επί γιατί τα στοιχεία του πεδίου ορισμού καλύπτουν μέσω της συνάρτησης f όλο το σύνολο Β.
Οι έννοιες του 1-1 κι επί είναι ό,τι πραγματικά χρειαζόμαστε για να συνεχίσουμε.
Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι f:A$\rightarrow$B είναι ισομορφισμός απ' το σύνολο Α στο σύνολο Β αν απλά είναι 1-1 κι επί ταυτόχρονα.
Τώρα θα κάνουμε το πρώτο μεγάλο μας βήμα προς το άπειρο, ορίζοντας το αντώνυμό του.
Λέμε ότι ένα σύνολο A είναι πεπερασμένο αν υπάρχει φυσικός αριθμός n, τέτοιος ώστε να υπάρχει ισομορφισμός f:A$\rightarrow$[n]. Όπως είπαμε και πριν το [n] συμβολίζει το σύνολο {1,2,3,...,n}. Έτσι το σύνολο {22,33,44,55} είναι πεπεραρμένο αφού υπάρχει φυσικός αριθμός (το 4) τέτοιος ώστε να μπορούμε να βρούμε έναν ισιμορφισμό f:{22,33,44,55}$\rightarrow$[4]. Ποιός είναι αυτός; Νομίζω ότι η απάντηση είναι πολύ απλή. Προφανώς η f για την οποία ισχύει ότι f(22)=1, f(33)=2, f(44)=3 και f(55)=4 μας κάνει. Στην πραγματικότητα μας κάνουν κι άλλες συναρτήσεις όπως αυτή για την οποία ισχύει f(22)=4, f(33)=3, f(44)=3 και f(55)=4. Αφήνεται ως απλή νοητική άσκηση η εύρεση των υπόλοιπων συναρτήσεων που ικανοποιούν τα παραπάνω, δεν είναι κι άπειρες (αχά καλό ε;)
Ωραία. Τώρα θα ονομάζουμε άπειρο όποιο σύνολο δεν είναι πεπερασμένο. Τόσο απλά.
Ποιό είναι το πιο απλό άπειρο σύνολο μας έρχεται στο μυαλό; Εμένα είναι το {1,11,111,1111,11111,111111,1111111,11111111,111111111,1111111111,....}, αλλά ας υποθέσουμε πως το πιο απλό άπειρο σύνολο που μας έρχεται στο μυαλό είναι αυτό των φυσικών αριθμών $\mathbb{N}$={1,2,3,4,5,...}. Υπάρχει ένας πολύ απλός (και λόγω απλότητας γαμάτος) τρόπος να ορίσουμε τους φυσικούς αριθμούς. Τον σκέφτηκε (μάλλον όχι πρώτος, αλλά αυτός τον έγραψε σαφώς στο χαρτί) ένας ιταλός που τον έλεγαν Peano. Τυπικά ο Peano σκέφτηκε να ορίσει ένα ελάχιστο στοιχείο για τους φυσικούς αριθμούς και το ονόμασε 0 (μηδέν) και είπε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, τότε κι ο n+1 θα είναι φυσικός. Όρισε λοιπόν τους φυσικούς αριθμούς επαγωγικά. Αυτή την ιδιότητα των φυσικών αριθμών θα χρησιμοποιήσουμε για να αποδείξουμε ότι οι φυσικοί αριθμοί δεν είναι πεπερασμένο σύνολο, άρα είναι άπειρο σύνολο.
Έστω λοιπόν, προς άτοπο, ότι το $\mathbb{N}$ είναι πεπρασμένο σύνολο. Τότε υπάρχει φυσικός αριθμός n και ισομορφισμός f:$\mathbb{N}\rightarrow [n]$. Τότε η f πρέπει να είναι 1-1 κι επί. Λόγω του επί θα έχουμε ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί απεικονίζονται στο σύνολο {1,2,3,...,n}. Μπορούμε να υποθέσουμε (λόγω του πεπερασμένου του $\mathbb{N}$ όπως έχουμε υποθέσει και του 1-1 της f), ότι η f θα έχει την εξής μορφή f(1)=1, f(2)=2, ..., f(n)=n. Ωραία; Ωραία. Ή μήπως όχι; Ο Peano μας λέει ότι αν $n\in\mathbb{N}$ τότε και ο $n+1\in\mathbb{N}$. Αλλά τότε θα έπρεπε να ισχύει ότι f(n+1)=i για κάποιο $i\in [n]={1,2,3,...,n}$ το οποίο θα μας χαλούσε το 1-1 της συνάρτησης f αφού θα είχαμε ότι f(n+1)=i αλλά ταυτόχρονα και f(i)=i. Άτοπο, άρα το σύνολο $\mathbb{N}$ δεν είναι πεπερασμένο. Άρα είναι ΆΠΕΙΡΟ. ΟΡΊΣΤΕ. ΕΧΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΆΠΕΙΡΟ.
Κάτι που παρέλειψα παραπάνω να αναφέρω, αλλά έτσι κι αλλιώς δεν το χρειαστήκαμε ακόμα, είναι η έννοια της ισοπληθικότητας. Η ισοπληθικότητα είναι ένας πιο καλοντυμένος τρόπος για να μιλάμε για ισομορφισμούς μεταξύ δύο συνόλων. Λέμε ότι δύο σύνολα Α και Β είναι ισοπληθικά, γράφοντας $A=_c B$ αν υπάρχει ισομορφισμός f:$A\rightarrow$B. Ok, πάμε παρακάτω.
Προφανώς, όπως είναι ευκόλως κατανοητό ένα πεπερασμένο σύνολο δεν μπορεί να είναι ισοπληθικό με ένα άπειρο. Μπορεί όμως δύο άπειρα σύνολα να είναι ισοπληθικά. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών $\mathbb{Z}$ είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους. Δηλαδή $\mathbb{Z}$={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Τώρα ορίζουμε τη συνάρτηση f:$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$ όπου f(0)=0, f(1)=1,f(2)=-1,f(3)=2,f(4)=2,f(5)=-2,... .Αυτή η συνάρτηση μπορούμε (με λίγη παραπάνω δουλειά) να δείξουμε ότι είναι ισομορφισμός. Προφανώς υπάρχουν κι άλλοι ισομορφισμοί τους οποίους μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, αλλά αυτός φαίνεται αρκετά φυσικός. "Σχηματικά" η συνάρτηση αυτή "φαίνεται" παρακάτω:
Είναι αρκετά αδόκιμο, αλλά θα μπορούσαμε να σκεφτόμαστε τα ισοπληθικά σύνολα, ως σύνολα που έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων (Ω Θεοί των Μαθηματικών! Συγχωρέστε με για την ασέβεια!). Άρα κατά μία έννοια το $\mathbb{N}$ είναι "τόσο άπειρο όσο είναι" και το $\mathbb{Z}$.
Οκ, μετά απ' αυτό πάμε παρακάτω. Τώρα κάτι λίγο πιο σύνθετο. Θυμάστε τους ρητούς αριθμούς $\mathbb{Q}$; Οι ρητοί αριθμοί, λέγαμε στο σχολείο, ότι είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσμα. Νταξ, τα πράγματα δεν είναι (και τόσο) απλά. Οι ρητοί αριθμοί ορίζονται ως
$\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b}: b\neq 0,b\in\mathbb{N}, a\in\mathbb{Z}$ και μκδ(a,b)=1}
Τυπικά δηλαδή είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως ανάγωγο κλάσμα με ακέραιους αριθμητή και παρονομαστή (αν παίρναμε b$\in\mathbb{Z}$\{0} θα ήταν το ίδιο). Πόσοι λοιπόν είναι οι ρητοί; Θα δείξουμε δια της πλαγία οδού ότι $\mathbb{N} =_c \mathbb{Q}$.
Αρχικά να πούμε λίγα ακόμη πράγματα για την πληθικότητα. Ισχύει ότι αν $A=_c B$ και $B=_c D$ τότε θα έχουμε επίσης ότι $A=_c D$. Αυτό είναι πολύ απλό να το δείξουμε χρησιμοποιώντας τον ορισμό της πληθικότητας και το γεγονός ότι η σύνθεση ισομορφισμών είναι ισομορφισμός. Αφήνεται ως άσκηση. Ωραία. Γράφουμε επίσης $A\leq _c B$ αν υπάρχει συνάρτηση f:A$\rightarrow$B η οποία να είναι 1-1. Δεν μας νοιάζει δηλαδή το Α να "γεμίζει" κατά επί τρόπο το Β, απλά να "μπαίνει" ολόκληρο μέσα του. Ισχύει λοιπόν επίσης ότι αν $A\leq _c B$ και $B\leq _c D$ τότε θα έχουμε κι ότι $A\leq _c D$. Αυτό αποδεικνύεται πάλι χρησιμοποιώντας προσεκτικά όλους τους ορισμούς κι αφήνεται ως άσκηση. Επίσης αν $A\leq _c B$ και $B\leq _c D$ και $A=_c D$ τότε θα έχουμε κι ότι $A=_c B$ και προφανώς θα ισχύει επίσης ότι $B=_c D$. Το Β θα μοίαζει λοιπόν σαν το ζαμπόν που το κλείνουν δυο ψωμιά στο σάντουιτς.
Ας επιστρέψουμε τώρα στο $\mathbb{Q}$. Απ' τον ορισμό του φαίνεται ότι μοιάζει με το σύνολο {(a,b): $b\neq 0,b\in\mathbb{N}, a\in\mathbb{Z}$ και μκδ(a,b)=1} το οποίο είναι το καρτεσιανό γινόμενο $\mathbb{N} \times \mathbb{Z}^* \approx_c \mathbb{N}\times\mathbb{Z}$, αλλά είδαμε ότι $\mathbb{N} =_c \mathbb{Z}$, άρα μπορούμε να πούμε ότι το $\mathbb{Q} =_c \mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Άρα αν δείξουμε ότι $\mathbb{N} =_c \mathbb{N}\times\mathbb{N}$ τότε σύμφωνα με τα παραπάνω (αφού προφανώς $\mathbb{N} \leq _c \mathbb{Q}$) θα ισχύει ότι $\mathbb{N} =_c \mathbb{Q}$.
Θεωρούμε τη συνάρτηση f:$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ όπου f(1)=(1,1),f(2)=(2,1),f(3)=(1,2),f(4)=(3,1),f(5)=(2,2),f(6)=(1,3),... η οποία ακολουθεί το παρακάτω σχήμα ως ορισμό της
Άρα τελικά $\mathbb{N} =_c \mathbb{Z} =_c \mathbb{Q}$. Έχουμε κάτι άλλο; Μήπως τελειώσαμε; Υπάρχει περίπτωση ποτέ να τελειώσουμε; Προφανώς όχι. Αν τα πράγματα ήταν τόσο απλά, ο Cantor (ο πατέρας της θεωρίας συνόλων) δεν θα έτρεχε στα ψυχιατρεία. Κάπου εδώ στο $\mathbb{Q}$ τα εύκολα τελειώνουν. Από εδώ και πέρα το άπειρο παύει να είναι μια απλή υπόθεση. Δεν ξέρω σε ποιο άπειρο αναφερόταν ο Buzz, πάντως για να φτάσει παραπέρα, θέλει κι άλλη δουλειά. Μελλοντικά θα κάνουμε ένα βήμα παραπάνω ανεβαίνοντας ένα σκαλί στη σκάλα του ξενοδοχείου του Hilbert, εξετάζοντας τους πραγματικούς αριθμούς και το λόγο που οδήγησε τον Cantor στην παράνοια.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφή